Selasa, 24 Maret 2015
Bilangan bulat, sudah biasa kita dengar dan pastinya sudah paham dengan apa itu bilangan bulat. Jika kita kembangkan bilangan bulat, maka bilangan bulat masuk dalam himpunan bilangan rasional. Dan bilangan rasional beserta pasangannya bilangan irasional masuk dalam anggota bilangan riil. Sedangkan gabungan antara bilangan riil dan bilangan imajiner merupakan bilangan Kompleks. Jenis bilangan yang pada kesempayan kali ini akan kita bahas.
Berdasarkan gambar diatas, lingkaran yang paling besar merupakan bilangan kompleks dan menunjukkan betapa luasnya bilangan kompleks itu.
Bilangan kompleks yang merupakan penggabungan dari bilangan real dan imajiner dapat kita notasikan sebagai hubungan penjumlahan seperti berikut ini.
z=x+yi
Berdasarkan notasi diatas x dan y merupakan bilangan riil sedangkan i merupakan imajiner murni. Notasi bilangan kompleks bukan hanya ditulis dalam bentuk penjumlahan melainkan juga dalam bentuk polar. Perhatikan penjelasan berikut ini. Dengan menganggap bahwa
serta
maka
atau sering ditulis juga a+bi = r cis teta.
Selain bentuk penjumlahan dan bentuk polar, notasi bilangan kompleks dapat dituliskan juga dalam Eksponen dan dalam bidang kompleks, yaitu :
Dalam sistem koordinat dua dimensi, bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai titik atau vektor posisi yang biasa disebut dengan bidang kompleks atau diagram argand. Koordinat cartesian dari bilangan kompleks yaitu bagian riil x serta bagian imajiner y, sedangkan koordinat sirkularnya yaitu r=|z|, disebut modulus, dan φ=arg(z) disebut argumen kompleks dari z. Jika kita kombinasikan dengan rumus euler, maka diperoleh :
Untuk lebih memahami bilangan kompleks, perhatikan beberapa contoh soal berikut ini.
1. Suatu bilangan kompleks z dinotasikan sebagai z = (x + yi).
Jika z =
, tentukan x dan y. Selanjutnya, gambarkan z dalam bidang kompleks!
Jika z =
, tentukan x dan y. Selanjutnya, gambarkan z dalam bidang kompleks!
Jawab:
Bentuk z diubah dulu atau disederhanakan.
z =
z =
z =
z =
z =
Nah, di sini didapat bahwa x=5 dan y =
.
Ini adalah lokasi titik z di bidang kompleks:
Bentuk z diubah dulu atau disederhanakan.
z =
z =
z =
z =
z =
Nah, di sini didapat bahwa x=5 dan y =
.Ini adalah lokasi titik z di bidang kompleks:
Titik yang berwarna merah adalah titik yang dimaksud.
2. Jika diketahui persamaan
z1 = z2 = z3.
z1 = c + ai.
z2 = b + 2ci.
z3 = a+2 – di.
Tentukan a, b, c, d dan z1, z2, dan z3!Jawab:
Di sini, kita harus tahu bahwa 2 bilangan kompleks p + qi dan r+si dikatakan sama jika dan hanya jika p = r DAN q = s.
z1 = c + ai.
z2 = b + 2ci.
z3 = a+2 – di.
Tentukan a, b, c, d dan z1, z2, dan z3!Jawab:
Di sini, kita harus tahu bahwa 2 bilangan kompleks p + qi dan r+si dikatakan sama jika dan hanya jika p = r DAN q = s.
Oleh karena itu, kita tinggal menghubung-hubungkan koefisiennya.
z1 = z2 = z3
c + ai = b + 2ci = a+2 – di.
c = b = a+2 … (i)
a = 2c = -d … (ii)
a = 2c = -d … (ii)
c= a+2
Substitusikan nilai c ke persamaan 2
a = 2(a+2)
a = 2a + 4
a = -4
Secara otomatis, kita dapatkan nilai d = 4. c=-2. b = -2. (Substitusi biasa)
Substitusikan nilai c ke persamaan 2
a = 2(a+2)
a = 2a + 4
a = -4
Secara otomatis, kita dapatkan nilai d = 4. c=-2. b = -2. (Substitusi biasa)
Kita dapatkan z1 = z2 = z3 = c + ai = -2 -4i.
3. (3+4i)(2-5i) = ….
Jawab:
Lakukan perkalian biasa terlebih dahulu.
(3+4i)(2-5i) = 6 -15i + 8i -20i.
Lalu ubah
menjadi 
1.(3+4i)(2-5i) = 6 -15i + 8i +20 = 26 -7i.
Jawab:
Lakukan perkalian biasa terlebih dahulu.
(3+4i)(2-5i) = 6 -15i + 8i -20i.
Lalu ubah
menjadi 1.(3+4i)(2-5i) = 6 -15i + 8i +20 = 26 -7i.
4. 
= ….
Jawab:
Lihat bagian penyebut, yaitu 3+4i. Maka, sekawan/konjugatnya adalah 3-4i. Kalikan bilangan konjugat ini di pembilang dan penyebut.. (perhatikan langkah di bawah).
= 
====-=
====-=
====-=
====-=
= ….Jawab:
Lihat bagian penyebut, yaitu 3+4i. Maka, sekawan/konjugatnya adalah 3-4i. Kalikan bilangan konjugat ini di pembilang dan penyebut.. (perhatikan langkah di bawah).
= 
====-=
====-=
====-=
====-=
5. Jika z = 3-i. Tentukan 
.
.
Jawab:
Hasil dari pemangkatan dapat diselesaikan dengan dalil De Moivre. Namun, karena kita belum belajar hal itu, kita akan mengalikannya secara biasa.
= (3-)(3-i)(3-i) = (9-6i-1)(3-i)=(8-6i)(3-i)=24-8i-18i-6=18-27i.
Hasil dari pemangkatan dapat diselesaikan dengan dalil De Moivre. Namun, karena kita belum belajar hal itu, kita akan mengalikannya secara biasa.
= (3-)(3-i)(3-i) = (9-6i-1)(3-i)=(8-6i)(3-i)=24-8i-18i-6=18-27i.
6. (3+2i)+(-2+7i) =….
Jawab:
(3+2i)+(-2+7i) = 3 + 2i -2 + 7i = 1 + 9i.
Jawab:
(3+2i)+(-2+7i) = 3 + 2i -2 + 7i = 1 + 9i.
Dari 6 contoh soal diatas semoga dapat membuat anda lebih mengenal dan memahami bilangan kompleks. Dan pastinya jika anda menemukan soal yang berhubungan dengan bilangan kompleks anda dapat menyelesaikan tanpa kesulitan. Jangan lupa baca juga artikel sebelumnya Fungsi Eksponen dan Logaritmaatau Operasi Hitung pada Pecahan.
