Selasa, 24 Maret 2015
Bagi anda mungkin kategori bilangan ini memang sudah tidak asing lagi karena dalam dunia matematikabilangan ini sangat familiar, tapi ada beberapa yang juga belum begitu paham tentang Bilangan Rasional dan Irasional. Tetapi walaupun sebagian dari anda telah memahami betul bilangan rasional dan irasional itu, saya akan tetap memberikan penjelasan tentang bilamgan rasioanl da irasional secara gamblang. Sehingga yang tadinya tidak tahu menjadi mengerti bukan hanya tahu.
Bilangan rasional merupakan suatu bilangan yang dapat dinyatakan sebagai bentuk a/b (pecahan) dimana a dan b adalah bilangan bulat dengan b bukan nol. Bilangan rasional juga memiliki batasan yaitu terdapat pada selang (-∞,∞).
Jika kita bicara bilangan rasional maka didalamnya sudah mencakup bilangan-bilangan seperti bilangan bulat,bilangan asli, bilangan cacah, bilangan prima serta bilangan bilangan lain yang menjadi subset dari bilangan rasional tersebut.
contoh :
- Jika a/b = c/d maka, ad = bc.
Selanjutnya Bilangan irasional yaitu suatu bilangan yang tidak dapat dibagi karena hasil baginya tidak akan pernah terhenti. Jadi pada intinya, jika bilangan tersebut tidak dapat dijadikan bentu a/b maka merupakan bilangan irasional. Yang paling populer untuk contoh bilangan irasional yaitu π, 
dan e.
dan e.
π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510…
= 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798..
e = 2,7182818….
Bagaimana apakah anda sudah paham Apa itu bilangan rasional dan irasional? Untuk lebih memudahkan dalam memahami konsep bilangan rasional dan irasional perhatikan contoh berikut.
Contoh:
1. Tentukan bilangan pecahan
paling sederhana dari bilangan 0,123123123123123….
Jawab:
Terlihat bahwa ada 3 bilangan yang berulang. maka pecahan itu adalah
.
Setelah disederhanakan maka menjadi
.2. Jika adalah suatu pecahan dari bilangan 0,0142857142851714285171428517…. Tentukan a+b positif terkecil!
Jawab:
Terlihat bahwa ada 6 bilangan yang berulang, yaitu 142857. Jadi, supaya semua desimal bergeser ke kiri, kalikan saja dengan 10, sehingga menjadi 0,142857142851714285171428517….
Dengan cara yang sama seperti di atas, maka pecahan tersebut adalah:
.
Setelah disederhanakan, maka hasilnya adalah
. Dengan demikian, a+b positif terkecil yang diminta adalah 70+1 = 71. Mudah bukan??
1. Tentukan bilangan pecahan
paling sederhana dari bilangan 0,123123123123123….Jawab:
Terlihat bahwa ada 3 bilangan yang berulang. maka pecahan itu adalah
.Setelah disederhanakan maka menjadi
.2. Jika adalah suatu pecahan dari bilangan 0,0142857142851714285171428517…. Tentukan a+b positif terkecil!Jawab:
Terlihat bahwa ada 6 bilangan yang berulang, yaitu 142857. Jadi, supaya semua desimal bergeser ke kiri, kalikan saja dengan 10, sehingga menjadi 0,142857142851714285171428517….
Dengan cara yang sama seperti di atas, maka pecahan tersebut adalah:
.Setelah disederhanakan, maka hasilnya adalah
. Dengan demikian, a+b positif terkecil yang diminta adalah 70+1 = 71. Mudah bukan??
3. Apakah 0,12111111… adalah bilangan rasional?
Jawab:
Jangan terkecoh dengan angka 2. Ini juga bagian dari bilangan berpola.
Anggap
A=0,121111…
Kalikan A dengan 100 menghasilkan
100A = 12,1111… _____._(persamaan pertama)
Kalikan lagi dengan 10 menghasilkan
1000A = 121,1111… ____(persamaan kedua)
Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu
1000A-100A = 121,1111… – 12,1111…
900 A = 109
A =
.
Jadi, a = 109 dan b=900. Jadi, 0,1211111… merupakan bilangan rasional.
Jawab:
Jangan terkecoh dengan angka 2. Ini juga bagian dari bilangan berpola.
Anggap
A=0,121111…
Kalikan A dengan 100 menghasilkan
100A = 12,1111… _____._(persamaan pertama)
Kalikan lagi dengan 10 menghasilkan
1000A = 121,1111… ____(persamaan kedua)
Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu
1000A-100A = 121,1111… – 12,1111…
900 A = 109
A =
.Jadi, a = 109 dan b=900. Jadi, 0,1211111… merupakan bilangan rasional.
4. Bagaimana dengan bilangan desimal tak hingga banyaknya dan memiliki pola desimal yang berulang-ulang seperti bilangan 0,25252525…?
Jawab:
Misalkan
A= 0,2525252525…. _____._(persamaan pertama)
Kalikan A dengan 100 menghasilkan:
100A=25,2525252525…. ___(persamaan kedua)
Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu:
100A-A = 25,2525252525… – 0,252525252525…
99A = 25
A =
.
Ternyata bilangan 0,252525252525… dapat dibentuk menjadi pecahan
di mana a=25 dan b=99.
Jadi, bilangan 0,25252525… adalah bilangan rasional.
Jawab:
Misalkan
A= 0,2525252525…. _____._(persamaan pertama)
Kalikan A dengan 100 menghasilkan:
100A=25,2525252525…. ___(persamaan kedua)
Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu:
100A-A = 25,2525252525… – 0,252525252525…
99A = 25
A =
.Ternyata bilangan 0,252525252525… dapat dibentuk menjadi pecahan
di mana a=25 dan b=99.Jadi, bilangan 0,25252525… adalah bilangan rasional.
5. Bagaimana dengan bilangan 
..???
Jawab:
..???Jawab:
Bilangan adalah bilangan imajiner, bilangan yang tidak real (bilangan yang sesungguhnya tidak ada, karena bilangan negatif tidak bisa diakar 2). Jadi, jelas kalau bilangan itu tidak termasuk bilangan rasional maupun bilangan irasional.
adalah bilangan imajiner, bilangan yang tidak real (bilangan yang sesungguhnya tidak ada, karena bilangan negatif tidak bisa diakar 2). Jadi, jelas kalau bilangan itu tidak termasuk bilangan rasional maupun bilangan irasional.
6.Bagaimana dengan bilangan 0,98787768638?
Jawab:
Tentu saja bilangan rasional. Itu kan dapat diubah menjadi
.
Jawab:
Tentu saja bilangan rasional. Itu kan dapat diubah menjadi
.
Itulah beberapa contoh dari cara menentukan bilangan rasional dan irasional, pasti sekarang anda telah paham perbedaan dari kedua bilangan tersebut dan bagaiman menentukannya. Sebagai tambahan informasi baca juga Fungsi Eksponen da Logaritma yang telah diupdate sebelumnya.
